Które klasy najlepsze?

Na uroczystości zakończenia roku szkolnego 2006/07 pan dyrektor Dariusz Koclejda ogłosił, które klasy osiągnęły najlepsze wyniki w nauce i frekwencji. Najlepsze okazały się klasy II f i I e ze średnią 4,0, z kolei najlepszą frekwencję zanotowały klasy I e i I f. Gratulacje! Ale czy zeszłoroczni zwycięzcy utrzymają swą pozycję w nadchodzącym roku szkolnym, tego nie jesteśmy w stanie przewidzieć...

Klasa	śr. ocena	frekwencja
Ia	3,51	86%
Ib	3,26	85%
Ic	3,50	88%
Id	3,10	83%
Ie	3,97	93%
If	3,06	92%
IIa	3,84	85%
IIb	3,67	87%
IIc	3,10	83%
IId	3,50	89%
IIe	3,25	83%
IIf	4,03	85%

Pan dyrektor Koclejda wyróżnił trzy klasy z najwyższą średnią: II f, I e i II a. Stwierdził przy tym, że wyniki w nauce idą na ogół w parze z frekwencją. Najlepsze klasy pod względem frekwencji to I e i I f. Pan dyrektor wymienił także klasy z najgorszą frekwencją i wynikami w nauce.

Średnie zapewne znacząco wzrosną w przyszłym roku szkolnym ze względu na wprowadzenie do średniej ocen z religii. A o ile powinny wzrosnąć? Na to pytanie znajdziecie odpowiedź w ramce poniżej. Ale uwaga - tekst w ramce przeznaczony jest dla wielbicieli matematyki!

Prosty rachunek: załóżmy, że klasa ma p przedmiotów, n uczniów i średnią ocenę z przedmiotów - bez religii - wynoszącą av. Średnią obliczamy sumując wszystkie oceny - razem jest ich n*p - a ponieważ średnia jest av, więc taka suma wyniesie n*p*av. Sprawdzamy: dzieląc tę sumę przez liczbę wszystkich ocen, otrzymujemy właśnie av, czyli na razie wszystko się zgadza.

Teraz dodajemy jeden przedmiot - religię. Załóżmy, że każdy uczeń dostanie piątkę z religii - wtedy suma punktów wzrośnie o 5*n, czyli wyniesie ona av*n*p+5*n, a przedmiotów będzie o jeden więcej, czyli p+1. Liczba wszystkich ocen wyniesie więc n*(p+1). Obliczamy teraz średnią: (av*n*p+5*n)/[n*(p+1)], co po przekształceniu da (av*p+5)/(p+1). Możemy teraz obliczyć różnicę nowej średniej i starej: (av*p+5)/(p+1)-av, po przeksztaceniu otrzymamy wzór na wzrost średniej klasy: (5-av)/(p+1). Dla przykładowych danych av=3,8 i p=10 otrzymamy wynik: 0,11. Takiego wzrostu średniej powinniśmy oczekiwać w roku przyszłym. Wzór można by uściślić, zakładając, że średnia ocena z religii niekoniecznie musi wynosić 5, ale np. r.

Ale cała sprawa będzie rozpatrywana przez Trybunał Konstytucyjny, dlatego powyższe rachunki mogą spalić na panewce. I jeszcze jedna uwaga - nie wszyscy wiedzą, jak prawidłowo obliczać średnią. Otóż niektórzy podsumowują średnią każdego ucznia, a potem obliczają średnią z tych średnich. Jest to metoda nieprawidłowa, choć daje ona wyniki na ogół zgodne lub niewiele odbiegające od poprawnego wyniku. Dobry sposób to ten zastosowany powyżej w tekście dla matematyków: trzeba po prostu zsumować wszystkie stopnie i podzielić otrzymaną sumę przez ich ilość - to daje prawidłową średnią klasy.